Смешанный многомасштабный метод конечных элементов для задач в перфорированных средах с неоднородными граничными условиями Дирихле Mixed multiscale finite element method for problems perforated media with inhomogeneous Dirichlet boundary conditions

Рассматривается решение эллиптического уравнения в смешанной постановке в перфорированной среде с неоднородными граничными условиями Дирихле на границе перфораций. Для решения задачи на мелкой сетке (эталонное решение) используется смешанный метод конечных элементов(Mixed FEM), где аппроксимация скорости реализована с помощью элементов Равиарта-Томаса наименьшего порядка и кусочно постоянных базисных функций для давления. Решение на грубой сетке выполнено с использованием смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов (Mixed GMsFEM). Поскольку перфорации оказывают огромное влияние на процессы в среде, то возникает необходимость вычисления дополнительного базиса, учитывающего влияние перфораций на решение задачи. Приводятся результаты численного эксперимента в двумерной области,подтверждающие работоспособность предложенного многомасштабного метода. We consider the solution of an elliptic equation in mixed formulation ina perforated medium with inhomogeneous Dirichlet boundaryconditions at the perfora-tion boundary. To solve the problem on a fine grid (reference solution), the mixed finiteelement method (Mixed FEM) is used, where the approximationof speed is implementedusing Raviart–Thomas elements of the smallest order and piecewise constant basis func-tions for pressure. The solution on a coarse grid was obtained with the use of the mixedgeneralized multiscale finite element method (Mixed GMsFEM). Since the perforationshave a great influence on the processes in the medium, it is necessary to calculatean additional basis, taking into account the effect of perforations on the solution. Thearticle presents the results of a numerical experiment in a two-dimensional domain whichconfirm the efficiency of the proposed multiscale method.